Упр.59.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
sin x + cos у = 0,
sin^2 x + cos^2 у = 1/2;
б) система
cos x + cos y = 0,5,
sin^2 x + sin^2 у = 1,75.

а) Сделаем замену: $$u=\sin x,\quad t=\cos y.$$ Тогда система примет вид

$$ \begin{cases} u+t=0,\\ u^2+t^2=\dfrac12. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$u=-t.$$ Подставим во второе:

$$ (-t)^2+t^2=\dfrac12 $$

$$ 2t^2=\dfrac12,\quad t^2=\dfrac14,\quad t=\pm \dfrac12. $$

Тогда $$u=\mp \dfrac12.$$ Получаем две пары значений:

$$ \sin x=\dfrac12,\quad \cos y=-\dfrac12 $$

и

$$ \sin x=-\dfrac12,\quad \cos y=\dfrac12. $$

Отсюда

$$ \sin x=\dfrac12 \Rightarrow x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad \cos y=-\dfrac12 \Rightarrow y=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k; $$

$$ \sin x=-\dfrac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad \cos y=\dfrac12 \Rightarrow y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k. $$

б) Преобразуем второе уравнение:

$$ \sin^2 x+\sin^2 y=1{,}75 $$

$$ (1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 y)=1{,}75 $$

$$ \cos^2 x+\cos^2 y=0{,}25. $$

Сделаем замену: $$u=\cos x,\quad t=\cos y.$$ Тогда

$$ \begin{cases} u+t=0{,}5,\\ u^2+t^2=0{,}25. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$u=0{,}5-t.$$ Подставим во второе:

$$ (0{,}5-t)^2+t^2=0{,}25 $$

$$ 0{,}25- t+t^2+t^2=0{,}25 $$

$$ 2t^2-t=0 $$

$$ t(2t-1)=0. $$

Значит, $$t=0$$ или $$t=\dfrac12.$$ Тогда:

при $$t=0$$ имеем $$u=\dfrac12$$, а при $$t=\dfrac12$$ имеем $$u=0.$$

Получаем две пары значений:

$$ \cos x=\dfrac12,\quad \cos y=0 $$

и

$$ \cos x=0,\quad \cos y=\dfrac12. $$

Отсюда

$$ \cos x=\dfrac12 \Rightarrow x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad \cos y=0 \Rightarrow y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k; $$

$$ \cos x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\qquad \cos y=\dfrac12 \Rightarrow y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k. $$

Ответ

а) $$\left((-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left((-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right).$$

б) $$\left(\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2}+\pi k\right),\ \left(\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right).$$