Упр.59.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
Зх = у + 1,
7^(y — 2x + 2) = 7^(y — 4х + 1) + 6.
б) система
х = 2у,
log1/3 (2y + х) + log1/3 (x — y + 1) = log3 (1 / (y + 1)).

1. а) Из первого уравнения получаем:

   $$y=3x-1.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$7^{(3x-1)-2x+2}=7^{(3x-1)-4x+1}+6,$$

   $$7^{x+1}=7^{-x}+6.$$

   Умножим на $$7^x$$:

   $$7\cdot 7^{2x}-6\cdot 7^x-1=0.$$

   Сделаем замену $$t=7^x,\; t>0$$. Тогда

   $$7t^2-6t-1=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=36+28=64,$$

   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 8}{14}.$$

   Получаем:

   $$t_1=-\frac17 \;(\text{не подходит}), \qquad t_2=1.$$

   Значит, $$7^x=1,$$ откуда $$x=0.$$ Тогда

   $$y=3\cdot 0-1=-1.$$

2. б) Из первого уравнения:

   $$x=2y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\log_{\frac13}(2y+x)+\log_{\frac13}(x-y+1)=\log_3\frac1{y+1}.$$

   Тогда

   $$\log_{\frac13}(4y)+\log_{\frac13}(y+1)=\log_3\frac1{y+1}.$$

   Так как $$\log_3\frac1{y+1}=-\log_3(y+1)=\log_{\frac13}(y+1),$$ получаем:

   $$\log_{\frac13}(4y)+\log_{\frac13}(y+1)=\log_{\frac13}(y+1).$$

   Следовательно,

   $$\log_{\frac13}(4y)=0,$$

   откуда

   $$4y=1,\qquad y=\frac14.$$

   Тогда

   $$x=2y=2\cdot \frac14=\frac12.$$

   Проверка области определения: $$4y>0,\; y+1>0,$$ при $$y=\frac14$$ условия выполняются.

Ответ

а) $$\left(0;\,-1\right)$$; б) $$\left(\frac12;\,\frac14\right)$$.