Упр.59.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
2^x * 0,25^-y = 512,
корень(x) + 2корень(у) = 5;
б) система
9^х * З^(y — 3) = 729,
корень(x) — корень(y) = 1.

а) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 2^x \cdot 0{,}25^{-y} = 512,\\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5. \end{cases} $$

Так как $$0{,}25=\frac14=2^{-2}$$, то

$$ 2^x \cdot (2^{-2})^{-y}=2^9, $$

$$ 2^x \cdot 2^{2y}=2^9, $$

$$ 2^{x+2y}=2^9, $$

откуда

$$ x+2y=9,\qquad x=9-2y. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ \sqrt{9-2y}+2\sqrt{y}=5. $$

Положим $$\sqrt{y}=t$$, тогда $$y=t^2$$ и $$t\ge 0$$. Получаем

$$ \sqrt{9-2t^2}+2t=5. $$

Перенесём и возведём в квадрат:

$$ \sqrt{9-2t^2}=5-2t, $$

$$ 9-2t^2=(5-2t)^2. $$

$$ 9-2t^2=25-20t+4t^2, $$

$$ 6t^2-20t+16=0, $$

$$ 3t^2-10t+8=0, $$

$$ (3t-4)(t-2)=0. $$

Отсюда $$t=\frac43$$ или $$t=2$$.

Тогда

$$ y_1=\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9},\qquad y_2=2^2=4. $$

Найдём $$x$$:

$$ x_1=9-2\cdot \frac{16}{9}=\frac{49}{9},\qquad x_2=9-2\cdot 4=1. $$

Проверка показывает, что оба решения подходят.

б) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 9^x \cdot 3^{y-3} = 729,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1. \end{cases} $$

Так как $$9^x=(3^2)^x=3^{2x}$$ и $$729=3^6$$, то

$$ 3^{2x}\cdot 3^{y-3}=3^6, $$

$$ 3^{2x+y-3}=3^6, $$

$$ 2x+y-3=6, $$

$$ 2x+y=9. $$

Положим $$\sqrt{x}=a$$, $$\sqrt{y}=b$$, где $$a\ge 0$$, $$b\ge 0$$. Тогда

$$ \begin{cases} 2a^2+b^2=9,\\ a-b=1. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$a=b+1$$. Подставим в первое:

$$ 2(b+1)^2+b^2=9, $$

$$ 2(b^2+2b+1)+b^2=9, $$

$$ 3b^2+4b-7=0, $$

$$ (3b+7)(b-1)=0. $$

С учётом условия $$b\ge 0$$ получаем $$b=1$$. Тогда $$a=2$$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ x=a^2=4,\qquad y=b^2=1. $$

Ответ

а) $$\left(\frac{49}{9};\frac{16}{9}\right),\ (1;4)$$

б) $$ (4;1) $$