Упр.59.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

корень((х + 3у)/(у + 5)) + 2 = 3корень((y + 5)/(x + 3y)),
ху + 2х = 13 — 4y;

а) Сделаем замену:

$$u=\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}, \quad u>0.$$

Тогда из первого уравнения получаем:

$$u+2=\frac{3}{u}.$$

Умножим на $$u$$:

$$u^2+2u=3,$$

$$u^2+2u-3=0,$$

$$\left(u+3\right)\left(u-1\right)=0.$$

Так как $$u>0$$, то $$u=1$$.

Тогда

$$\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}=1,$$

$$\frac{x+3y}{y+5}=1,$$

$$x+3y=y+5,$$

$$x=5-2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$y(5-2y)+2(5-2y)=13-4y,$$

$$5y-2y^2+10-4y=13-4y,$$

$$2y^2-5y+3=0,$$

$$\left(2y-3\right)\left(y-1\right)=0.$$

Отсюда

$$y=\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad y=1.$$

Тогда

$$x=5-2y,$$

получаем:

при $$y=\frac{3}{2}$$ имеем $$x=2$$;

при $$y=1$$ имеем $$x=3$$.

Проверка показывает, что оба решения подходят.

б) Сделаем замену:

$$u=\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}, \quad u>0, \quad x\ne \pm y.$$

Тогда из второго уравнения:

$$u+\frac{3}{u}=4.$$

Умножим на $$u$$:

$$u^2-4u+3=0,$$

$$\left(u-1\right)\left(u-3\right)=0.$$

Значит, $$u=1$$ или $$u=3$$.

1) Если $$u=1$$, то

$$\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}=1,$$

$$x+y=x-y,$$

$$2y=0,$$

$$y=0.$$

Из первого уравнения:

$$x^2+4x-y^2-3y=0,$$

$$x^2+4x=0,$$

$$x(x+4)=0.$$

С учётом условия $$x\ne y$$ получаем $$x=-4$$.

2) Если $$u=3$$, то

$$\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}=3,$$

$$\frac{x+y}{x-y}=9,$$

$$x+y=9(x-y),$$

$$10y=8x,$$

$$y=\frac{4x}{5}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+4x-\left(\frac{4x}{5}\right)^2-3\cdot\frac{4x}{5}=0,$$

$$x^2+4x-\frac{16x^2}{25}-\frac{12x}{5}=0,$$

$$\frac{9x^2}{25}+\frac{8x}{5}=0,$$

$$9x^2+40x=0,$$

$$x(9x+40)=0.$$

С учётом условия $$x\ne y$$ получаем $$x=-\frac{40}{9}$$, тогда

$$y=\frac{4x}{5}=-\frac{32}{9}.$$

Ответ

а) $$\left(3;\,1\right), \left(2;\,\frac{3}{2}\right);$$ б) $$\left(-4;\,0\right), \left(-\frac{40}{9};\,-\frac{32}{9}\right).$$