Упр.59.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
(2x + y)(x + Зy) = 48,
(2x + y)/ (x + 3y) = 3/4;
6) система
(x — 3) / (y + 2) = 4,
(x — 3)^2 + (y + 2)^2 = 17.

1. Пусть $$u=2x+y$$, $$t=x+3y$$. Тогда система принимает вид

   $$ \begin{cases} ut=48,\\ \dfrac{u}{t}=\dfrac{3}{4}. \end{cases} $$

   Из второго уравнения получаем $$u=\dfrac{3}{4}t$$. Подставим в первое:

   $$ \dfrac{3}{4}t^2=48,\qquad t^2=64,\qquad t=\pm 8. $$

   Тогда

   $$ u=\dfrac{3}{4}\cdot (\pm 8)=\pm 6. $$

   1) Если $$u=-6$$, $$t=-8$$, то

   $$ \begin{cases} 2x+y=-6,\\ x+3y=-8. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$y=-6-2x$$. Подставим во второе:

   $$ x+3(-6-2x)=-8,\qquad x-18-6x=-8,\qquad -5x=10,\qquad x=-2. $$

   Тогда $$y=-6-2\cdot(-2)=-2$$.

   2) Если $$u=6$$, $$t=8$$, то

   $$ \begin{cases} 2x+y=6,\\ x+3y=8. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$y=6-2x$$. Подставим во второе:

   $$ x+3(6-2x)=8,\qquad x+18-6x=8,\qquad -5x=-10,\qquad x=2. $$

   Тогда $$y=6-2\cdot 2=2$$.

2. Пусть $$u=x-3$$, $$t=y+2$$. Тогда

   $$ \begin{cases} \dfrac{u}{t}=4,\\ u^2+t^2=17. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$u=4t$$. Подставим во второе:

   $$ (4t)^2+t^2=17,\qquad 16t^2+t^2=17,\qquad 17t^2=17,\qquad t^2=1. $$

   Значит, $$t=\pm 1$$, тогда $$u=4t=\pm 4$$.

   1) Если $$u=-4$$, $$t=-1$$, то

   $$ x-3=-4,\qquad y+2=-1, $$

   откуда $$x=-1$$, $$y=-3$$.

   2) Если $$u=4$$, $$t=1$$, то

   $$ x-3=4,\qquad y+2=1, $$

   откуда $$x=7$$, $$y=-1$$.

Ответ

а) $$(-2;\,-2),\ (2;\,2)$$; б) $$(-1;\,-3),\ (7;\,-1)$$.