Упр.59.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) система
корень(x + 1) — y = 2,
log7 (4 — x) = y;
б) система
y + x = 1,
2^(x — y) = (1/4)^-1 * (8^2/3)/2.

а) Из второго уравнения системы получаем $$y=\log_7(4-x).$$

Подставим в первое уравнение:

$$\sqrt{x+1}-\log_7(4-x)=2.$$

Рассмотрим область допустимых значений:

$$x+1\ge 0,\quad 4-x>0,$$

откуда

$$-1\le x<4.$$

На этом промежутке функция $$\sqrt{x+1}-2$$ возрастает, а функция $$\log_7(4-x)$$ убывает, значит, решение может быть только одно. Проверим значение $$x=3$$:

$$\sqrt{3+1}-2=2-2=0,$$

$$\log_7(4-3)=\log_7 1=0.$$

Следовательно, $$x=3,$$ тогда

$$y=\log_7(4-3)=0.$$

б) Из первого уравнения системы:

$$y=1-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$2^{x-y}=\left(\frac14\right)^{-1}\cdot \frac{8^{2/3}}{2}.$$

Упростим правую часть:

$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad 8^{2/3}=(2^3)^{2/3}=2^2=4,$$

поэтому

$$\left(\frac14\right)^{-1}\cdot \frac{8^{2/3}}{2}=4\cdot \frac{4}{2}=8=2^3.$$

Тогда

$$2^{x-y}=2^3,$$

значит,

$$x-y=3.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y=1,\\ x-y=3. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$2x=4,\quad x=2.$$

Тогда

$$y=1-2=-1.$$

Ответ

а) $$\left(3;0\right)$$; б) $$\left(2;-1\right)$$.