Упр.59.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
корень((y — x)/2x) — корень(x/(x + y)) = 1/2,
16корень(x/(x + y)) — 7корень((y — x)/2x) = 1;

а) Обозначим

$$u=\sqrt{\frac{y-x}{2x}},\qquad t=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.$$

Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} u-t=\frac12,\\ 16t-7u=1. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$t=u-\frac12$$. Подставим во второе:

$$ 16\left(u-\frac12\right)-7u=1 $$

$$ 16u-8-7u=1 $$

$$ 9u=9,\qquad u=1. $$

Тогда

$$ t=1-\frac12=\frac12. $$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \sqrt{\frac{y-x}{2x}}=1 \Rightarrow \frac{y-x}{2x}=1 \Rightarrow y-x=2x \Rightarrow y=3x, $$

$$ \sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac12 \Rightarrow \frac{x}{x+y}=\frac14 \Rightarrow 4x=x+y \Rightarrow y=3x. $$

Пусть $$x=k$$, тогда $$y=3k$$. По области допустимых значений нужно, чтобы $$x\neq 0$$ и $$x+y\neq 0$$, значит $$k\neq 0$$.

б) Сделаем замену:

$$ a=2^{y+x},\qquad b=3^{x-y}. $$

Тогда система становится

$$ \begin{cases} a-b=1,\\ a+b=3. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 2a=4,\qquad a=2. $$

Тогда

$$ b=3-a=1. $$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$ 2^{x+y}=2 \Rightarrow x+y=1, $$

$$ 3^{x-y}=1 \Rightarrow x-y=0 \Rightarrow x=y. $$

Следовательно,

$$ 2x=1,\qquad x=\frac12,\qquad y=\frac12. $$

Ответ

а) $$\left(k;3k\right),\ k\neq 0$$; б) $$\left(\frac12;\frac12\right)$$.