Упр.59.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
2 sin (x + y) — 3 cos (x — y) = 5,
7 cos (x — y) + 5 sin (x + y) = -2;
б) система
x^4 — y^4 = 15,
x^4 + y^4 = 17.

а) Сделаем замену:

$$u=\sin(x+y), \quad t=\cos(x-y).$$

Тогда система принимает вид:

$$ \begin{cases} 2u-3t=5,\\ 5u+7t=-2. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе на $$2$$:

$$ \begin{cases} 10u-15t=25,\\ 10u+14t=-4. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$-29t=29,$$

откуда $$t=-1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2u-3(-1)=5,$$

$$2u=2,$$

$$u=1.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\sin(x+y)=1,\quad \cos(x-y)=-1.$$

Тогда

$$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x-y=\pi+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Складывая и вычитая, получаем:

$$ 2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi(n+k), \quad 2y=-\frac{\pi}{2}+2\pi(n-k). $$

Следовательно,

$$ x=\frac{3\pi}{4}+\pi(n+k), \quad y=-\frac{\pi}{4}+\pi(n-k). $$

б) Сложим уравнения системы:

$$ \begin{cases} x^4-y^4=15,\\ x^4+y^4=17. \end{cases} $$

Получаем:

$$2x^4=32,$$

откуда

$$x^4=16,\quad x=\pm 2.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$2y^4=2,$$

значит

$$y^4=1,\quad y=\pm 1.$$

Проверяем сочетания знаков. Подходят пары:

$$(-2,-1),\ (-2,1),\ (2,-1),\ (2,1).$$

Ответ

а) $$\left(\frac{3\pi}{4}+\pi(n+k),\ -\frac{\pi}{4}+\pi(n-k)\right), \quad n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$(-2,-1),\ (-2,1),\ (2,-1),\ (2,1).$$