Упр.59.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
х + у = 3,
х^2 + 2у^2 — ху + 2х — Зу = 3;
б) система
x + y = 5,
х^3 + y^3 = 35;
в) система
корень(7 — 6х — у^2) = у + 5,
у = х — 1;
г) система
х + 2у = 1,
2х^2 + 3xy — 3y^2 = 6.

1. а) Из первого уравнения получаем $$y=3-x.$$ Подставим во второе:

   $$ x^2+2(3-x)^2-x(3-x)+2x-3(3-x)=3 $$

   $$ x^2+18-12x+2x^2-3x+x^2+2x-9+3x-3=0 $$

   $$ 4x^2-10x+6=0 $$

   $$ 2x^2-5x+3=0 $$

   $$ (2x-3)(x-1)=0 $$

   Отсюда $$x_1=1,$$ $$x_2=\frac32.$$ Тогда

   $$ y_1=3-1=2,\qquad y_2=3-\frac32=\frac32. $$

   Ответ: $$(1;2),\left(\frac32;\frac32\right).$$

2. б) Из первого уравнения $$y=5-x.$$ Используем формулу суммы кубов:

   $$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$

   Тогда

   $$ 5(x^2-xy+y^2)=35, $$

   значит

   $$ x^2-xy+y^2=7. $$

   Подставим $$y=5-x$$:

   $$ x^2-x(5-x)+(5-x)^2=7 $$

   $$ x^2-5x+x^2+25-10x+x^2=7 $$

   $$ 3x^2-15x+18=0 $$

   $$ x^2-5x+6=0 $$

   $$ (x-2)(x-3)=0 $$

   Отсюда $$x_1=2,$$ $$x_2=3.$$ Тогда

   $$ y_1=5-2=3,\qquad y_2=5-3=2. $$

   Ответ: $$(2;3), (3;2).$$

3. в) Из второго уравнения $$y=x-1.$$ Подставим в первое:

   $$ \sqrt{7-6x-(x-1)^2}=x-1+5=x+4 $$

   $$ \sqrt{-x^2-4x+6}=x+4 $$

   Возведём в квадрат:

   $$ -x^2-4x+6=(x+4)^2 $$

   $$ -x^2-4x+6=x^2+8x+16 $$

   $$ 2x^2+12x+10=0 $$

   $$ x^2+6x+5=0 $$

   $$ (x+5)(x+1)=0 $$

   $$ x=-5 \text{ или } x=-1. $$

   Проверка показывает, что подходит только $$x=-1,$$ тогда

   $$ y=x-1=-2. $$

   Ответ: $$(-1;-2).$$

4. г) Из первого уравнения $$x=1-2y.$$ Подставим во второе:

   $$ 2(1-2y)^2+3y(1-2y)-3y^2=6 $$

   $$ 2-8y+8y^2+3y-6y^2-3y^2=6 $$

   $$ -y^2-5y-4=0 $$

   $$ y^2+5y+4=0 $$

   $$ (y+4)(y+1)=0 $$

   Отсюда $$y_1=-4,$$ $$y_2=-1.$$ Тогда

   $$ x_1=1-2(-4)=9,\qquad x_2=1-2(-1)=3. $$

   Ответ: $$(9;-4), (3;-1).$$