Упр.58.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) y = корень(1 — x^2);
б) |у| = -корень(1 — (х — 1)^2);
в) у + 2 = -корень(1 — x^2);
г) |у| = -корень(1 — х^2) + 3.
$$y=\sqrt{1-x^2}$$
Возведём в квадрат:
$$y^2=1-x^2$$
Получаем:
$$x^2+y^2=1$$
Так как $$y=\sqrt{1-x^2}$$, то $$y\ge 0$$. Значит, это верхняя полуокружность с центром $$ (0;0) $$ и радиусом $$1$$.
$$|y|=-\sqrt{1-(x-1)^2}$$
Левая часть неотрицательна, а правая неположительна. Поэтому равенство возможно только при
$$|y|=0,\qquad \sqrt{1-(x-1)^2}=0$$
Отсюда
$$y=0$$
и
$$1-(x-1)^2=0$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$
Следовательно, график состоит из двух точек: $$ (0;0) $$ и $$ (2;0) $$.
$$y+2=-\sqrt{1-x^2}$$
Перенесём 2 в правую часть и возведём в квадрат:
$$y+2=-\sqrt{1-x^2}$$
$$ (y+2)^2=1-x^2 $$
$$x^2+(y+2)^2=1$$
Так как правая часть исходного уравнения не положительна, то
$$y+2\le 0,\qquad y\le -2$$
Это нижняя полуокружность с центром $$ (0;-2) $$ и радиусом $$1$$.
$$|y|=-\sqrt{1-x^2}+3$$
Рассмотрим случаи.
Если $$y\ge 0$$, то $$|y|=y$$ и
$$y=-\sqrt{1-x^2}+3$$
$$\sqrt{1-x^2}=3-y$$
$$1-x^2=(3-y)^2$$
$$x^2+(y-3)^2=1$$
При этом $$3-y\ge 0$$, то есть $$0\le y\le 3$$.
Если $$y\le 0$$, то $$|y|=-y$$ и
$$-y=-\sqrt{1-x^2}+3$$
$$y=\sqrt{1-x^2}-3$$
$$\sqrt{1-x^2}=y+3$$
$$1-x^2=(y+3)^2$$
$$x^2+(y+3)^2=1$$
При этом $$y+3\ge 0$$, то есть $$-3\le y\le 0$$.
Итак, график состоит из двух полуокружностей: верхней с центром $$ (0;3) $$ и нижней с центром $$ (0;-3) $$, обе радиуса $$1$$.
Ответ
а) верхняя полуокружность окружности $$x^2+y^2=1$$, $$y\ge 0$$;
б) точки $$ (0;0) $$ и $$ (2;0) $$;
в) нижняя полуокружность окружности $$x^2+(y+2)^2=1$$, $$y\le -2$$;
г) две полуокружности: $$x^2+(y-3)^2=1$$ при $$0\le y\le 3$$ и $$x^2+(y+3)^2=1$$ при $$-3\le y\le 0$$.
