Упр.58.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
система
|x — у| < = 2,
|x + у| < = 2.
Найдите вероятность того, что выбранная точка расположена:
а) ниже прямой у = 1;
б) выше прямой у = 0,5;
в) правее прямой х = 1;
г) выше параболы у = х^2.
Множество решений системы
$$|x-y|\le 2,\qquad |x+y|\le 2$$
задаёт квадрат с вершинами $$(-2,0),\ (0,2),\ (2,0),\ (0,-2).$$ Его площадь:
$$S_0=\frac12\cdot 4\cdot 4=8.$$
а) Ниже прямой $$y=1$$.
Выше прямой $$y=1$$ внутри квадрата остаётся маленький треугольник с основанием $$2$$ и высотой $$1$$, его площадь равна
$$S_1=\frac12\cdot 2\cdot 1=1.$$
Тогда
$$P=\frac{S_0-S_1}{S_0}=\frac{8-1}{8}=\frac78.$$
б) Выше прямой $$y=0{,}5$$.
Ниже прямой $$y=0{,}5$$ внутри квадрата отсечён треугольник с основанием $$3$$ и высотой $$1{,}5$$, поэтому
$$S_1=\frac12\cdot 3\cdot 1{,}5=\frac94.$$
Следовательно,
$$P=\frac{S_1}{S_0}=\frac{\frac94}{8}=\frac{9}{32}.$$
в) Правее прямой $$x=1$$.
Справа от прямой $$x=1$$ внутри квадрата получается треугольник площадью
$$S_1=\frac12\cdot 2\cdot 1=1.$$
Тогда
$$P=\frac{S_1}{S_0}=\frac18.$$
г) Выше параболы $$y=x^2$$.
Искомая область симметрична относительно оси $$Oy$$, поэтому достаточно найти площадь справа от оси $$Oy$$ и удвоить:
$$S=2\int_0^1\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx.$$
Вычислим:
$$ S=2\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =2\left(2-\frac12-\frac13\right) =2\cdot\frac76 =\frac73. $$
Тогда вероятность равна
$$P=\frac{S}{S_0}=\frac{\frac73}{8}=\frac{7}{24}.$$
Ответ
а) $$\frac78$$; б) $$\frac{9}{32}$$; в) $$\frac18$$; г) $$\frac{7}{24}$$.
