Упр.58.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (4 — x^2) / (2х + Зу — 6) > = 0;
б) (x^2 + y^2 — 4) / (|x| + |y| — 2) < = 0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим дробь $$\frac{4-x^2}{2x+3y-6}\ge 0.$$

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$ \begin{cases} 4-x^2\ge 0,\\ 2x+3y-6>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 4-x^2\le 0,\\ 2x+3y-6<0 \end{cases} $$

Получаем:

$$ \begin{cases} x^2\le 4,\\ y>-\frac{2}{3}x+2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x^2\ge 4,\\ y<-\frac{2}{3}x+2 \end{cases} $$

То есть искомое множество — объединение двух областей: между прямыми $$x=-2$$ и $$x=2$$ выше прямой $$y=-\frac{2}{3}x+2$$, а вне этой полосы — ниже этой прямой.

б) Рассмотрим неравенство $$\frac{x^2+y^2-4}{|x|+|y|-2}\le 0.$$

Дробь неположительна, когда числитель и знаменатель разных знаков, либо числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$ \begin{cases} x^2+y^2-4\le 0,\\ |x|+|y|-2>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x^2+y^2-4\ge 0,\\ |x|+|y|-2<0 \end{cases} $$

Вторую систему можно записать как

$$ \begin{cases} x^2+y^2\ge 4,\\ |x|+|y|<2 \end{cases} $$

Но при $$|x|+|y|<2$$ выполняется $$x^2+y^2<4$$, поэтому эта система решений не даёт. Значит, остаётся только

$$ \begin{cases} x^2+y^2\le 4,\\ |x|+|y|>2 \end{cases} $$

Это круг радиуса $$2$$ с центром в начале координат без внутреннего ромба $$|x|+|y|\le 2$$.