Упр.58.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) корень(3x — Сѓ — 1) < корень(2С… + Сѓ - 1); Р±) корень(1 - y) < = корень(1 - 2С…^2); РІ) корень(x + Сѓ - 1) > корень(2x — Сѓ);
Рі) корень(Сѓ^2 — 1) > = корень(2С… — 1).

1. а) $$\sqrt{3x-y-1}<\sqrt{2x+y-1}$$

   Чтобы неравенство имело смысл, нужно:

   $$ \begin{cases} 3x-y-1\ge 0,\\ 2x+y-1\ge 0. \end{cases} $$

   Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

   $$3x-y-1<2x+y-1.$$

   Получаем:

   $$x<2y,\qquad y>\frac{x}{2}.$$

   Из области определения:

   $$ \begin{cases} y\le 3x-1,\\ y\ge -2x+1. \end{cases} $$

   Итак, искомое множество точек задаётся системой:

   $$ \begin{cases} y>\frac{x}{2},\\ y\le 3x-1,\\ y\ge -2x+1. \end{cases} $$

2. б) $$\sqrt{1-y}\le \sqrt{1-2x^2}$$

   Область определения:

   $$ \begin{cases} 1-y\ge 0,\\ 1-2x^2\ge 0. \end{cases} $$

   Так как корни неотрицательны, возводим в квадрат:

   $$1-y\le 1-2x^2.$$

   Отсюда:

   $$y\ge 2x^2.$$

   Следовательно,

   $$ \begin{cases} y\le 1,\\ x^2\le \frac12,\\ y\ge 2x^2. \end{cases} $$

   То есть

   $$-\frac{1}{\sqrt2}\le x\le \frac{1}{\sqrt2},\qquad 2x^2\le y\le 1.$$

3. в) $$\sqrt{x+y-1}>\sqrt{2x-y}$$

   Область определения:

   $$ \begin{cases} x+y-1\ge 0,\\ 2x-y\ge 0. \end{cases} $$

   Возводим в квадрат:

   $$x+y-1>2x-y.$$

   Получаем:

   $$2y>x+1,\qquad y>\frac{x+1}{2}.$$

   Итак,

   $$ \begin{cases} y\ge -x+1,\\ y\le 2x,\\ y>\frac{x+1}{2}. \end{cases} $$

4. г) $$\sqrt{y^2-1}\ge \sqrt{2x-1}$$

   Область определения:

   $$ \begin{cases} y^2-1\ge 0,\\ 2x-1\ge 0. \end{cases} $$

   То есть

   $$ \begin{cases} y\le -1 \ \text{или}\ y\ge 1,\\ x\ge \frac12. \end{cases} $$

   Возводим в квадрат:

   $$y^2-1\ge 2x-1,$$

   откуда

   $$y^2\ge 2x,\qquad x\le \frac{y^2}{2}.$$

   Следовательно,

   $$ \begin{cases} x\ge \frac12,\\ y\le -1 \ \text{или}\ y\ge 1,\\ x\le \frac{y^2}{2}. \end{cases} $$

Ответ

а) $$\begin{cases}y>\frac{x}{2},\\ y\le 3x-1,\\ y\ge -2x+1.\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}-\frac{1}{\sqrt2}\le x\le \frac{1}{\sqrt2},\\ 2x^2\le y\le 1.\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}y>\frac{x+1}{2},\\ y\ge -x+1,\\ y\le 2x.\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}x\ge \frac12,\\ y\le -1\ \text{или}\ y\ge 1,\\ x\le \frac{y^2}{2}.\end{cases}$$