Упр.58.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) |х + у| + 2х — у > = 3;
б) |x + y| / (x + y) * х + |х + у| + у < = 4.

а) Рассмотрим знак выражения под модулем.

1) Если $$x+y\ge 0,$$ то $$|x+y|=x+y,$$ и неравенство принимает вид

$$ (x+y)+2x-y\ge 3 $$

$$ 3x\ge 3,\quad x\ge 1. $$

С учётом условия $$x+y\ge 0$$ получаем

$$ x\ge 1,\quad y\ge -x. $$

2) Если $$x+y<0,$$ то $$|x+y|=-(x+y),$$ и тогда

$$ -(x+y)+2x-y\ge 3 $$

$$ x-2y\ge 3 $$

$$ 2y\le x-3,\quad y\le \frac{x-3}{2}. $$

С учётом условия $$x+y<0$$ получаем

$$ y<-x. $$

Итак, множество решений — объединение двух областей:

$$ \begin{cases} x\ge 1,\\ y\ge -x \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y<-x,\\ y\le \dfrac{x-3}{2}. \end{cases} $$

б) Здесь нужно учитывать, что выражение $$\dfrac{|x+y|}{x+y}$$ определено только при $$x+y\ne 0.$$

1) Если $$x+y>0,$$ то $$\dfrac{|x+y|}{x+y}=1,$$ и неравенство имеет вид

$$ x+(x+y)+y\le 4 $$

$$ 2x+2y\le 4 $$

$$ x+y\le 2. $$

С учётом $$x+y>0$$ получаем

$$ 0<x+y\le 2. $$

2) Если $$x+y<0,$$ то $$\dfrac{|x+y|}{x+y}=-1,$$ и тогда

$$ -x-(x+y)+y\le 4 $$

$$ -2x\le 4 $$

$$ x\ge -2. $$

С учётом $$x+y<0$$ получаем

$$ x\ge -2,\quad y<-x. $$

Итак, множество решений — объединение областей:

$$ \begin{cases} 0<x+y\le 2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x\ge -2,\\ y<-x. \end{cases} $$

Ответ

а) $$\{(x,y)\mid x\ge 1,\ y\ge -x\}\cup\{(x,y)\mid y<-x,\ y\le \frac{x-3}{2}\}$$

б) $$\{(x,y)\mid 0<x+y\le 2\}\cup\{(x,y)\mid x\ge -2,\ y<-x\}$$