Упр.58.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 7С… + 2Сѓ = 1;
Р±) 7С… — 12Сѓ = 1.

1. а) $$7x+2y=1$$

   Выразим $$y$$:

   $$2y=1-7x$$

   Чтобы $$y$$ было целым числом, правая часть должна делиться на $$2$$, значит $$1-7x$$ — чётное число. Тогда $$x$$ — нечётное:

   $$x=2k+1,\quad k\in \mathbb{Z}$$

   Подставим в уравнение:

   $$y=\frac{1-7(2k+1)}{2}=\frac{1-14k-7}{2}=-7k-3$$

   Следовательно, все целочисленные решения имеют вид:

   $$x=2k+1,\quad y=-7k-3,\quad k\in \mathbb{Z}$$

2. б) $$7x-12y=1$$

   Выразим $$x$$:

   $$7x=1+12y$$

   Чтобы $$x$$ было целым числом, число $$1+12y$$ должно делиться на $$7$$. Так как $$12\equiv 5 \pmod 7$$, получаем:

   $$1+12y\equiv 1+5y\equiv 0 \pmod 7$$

   Отсюда $$y\equiv 4 \pmod 7$$, значит

   $$y=7k+4,\quad k\in \mathbb{Z}$$

   Тогда

   $$x=\frac{1+12(7k+4)}{7}=\frac{84k+49}{7}=12k+7$$

   Следовательно, все целочисленные решения имеют вид:

   $$x=12k+7,\quad y=7k+4,\quad k\in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=2k+1,\ y=-7k-3,\ k\in \mathbb{Z}$$;

б) $$x=12k+7,\ y=7k+4,\ k\in \mathbb{Z}$$.