Упр.57.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
x^3 < х, 3x^2 - x > 5 — 15x;
б) система
(х + 5) / (x — 7) < 1, (3х + 4) / (4x - 2) > -1.

1. Решим первое неравенство:

   $$x^3<x$$

   $$x^3-x<0$$

   $$x(x^2-1)<0$$

   $$x(x-1)(x+1)<0$$

   Отсюда

   $$x<-1 \text{ или } 0<x<1.$$

2. Решим второе неравенство:

   $$3x^2-x>5-15x$$

   $$3x^2+14x-5>0$$

   $$D=14^2-4\cdot 3\cdot(-5)=196+60=256$$

   $$x_{1,2}=\frac{-14\pm 16}{6}$$

   $$x_1=-5,\quad x_2=\frac13$$

   Так как старший коэффициент положительный, то

   $$3x^2+14x-5>0 \quad \text{при} \quad x<-5 \text{ или } x>\frac13.$$

3. Пересечём решения двух неравенств:

   $$\left(x<-1 \text{ или } 0<x<1\right)\cap\left(x<-5 \text{ или } x>\frac13\right)$$

   Получаем

   $$x<-5 \text{ или } \frac13<x<1.$$

Ответ

$$x\in(-\infty;-5)\cup\left(\frac13;1\right).$$

Ход решения

1. Решим первое неравенство:

   $$\frac{x+5}{x-7}<1$$

   $$\frac{x+5-(x-7)}{x-7}<0$$

   $$\frac{12}{x-7}<0$$

   Так как числитель положителен, то

   $$x-7<0,\quad x<7.$$

2. Решим второе неравенство:

   $$\frac{3x+4}{4x-2}>-1$$

   $$\frac{3x+4+(4x-2)}{4x-2}>0$$

   $$\frac{7x+2}{4x-2}>0$$

   Критические точки: $$x=-\frac27$$ и $$x=\frac12$$.

   Тогда

   $$\frac{7x+2}{4x-2}>0 \quad \text{при} \quad x<-\frac27 \text{ или } x>\frac12.$$

3. Пересечём решения:

   $$x<7 \cap \left(x<-\frac27 \text{ или } x>\frac12\right)$$

   Получаем

   $$x<-\frac27 \text{ или } \frac12<x<7.$$

Ответ

$$x\in\left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;7\right).$$