Упр.57.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 6 log3 |x — 1| < = 14 + 2x - x^2; б) log2 (x^2 + x - 10) > 25 — 2x — 2x^2.

1. а) Преобразуем неравенство:

   $$6\log_3|x-1|\le 14+2x-x^2$$

   $$3\cdot 2\log_3|x-1|\le 15-(x^2-2x+1)$$

   $$3\log_3(x-1)^2\le 15-(x-1)^2$$

   Положим $$y=(x-1)^2$$, тогда получаем:

   $$3\log_3 y\le 15-y,\qquad y>0.$$

   Функция $$3\log_3 y$$ возрастает при $$y>0$$, а функция $$15-y$$ убывает. Они равны при $$y=9$$, так как

   $$3\log_3 9=6,\qquad 15-9=6.$$

   Значит, решение по $$y$$:

   $$0<y\le 9.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$0<(x-1)^2\le 9.$$

   Отсюда

   $$-3\le x-1<0 \quad \text{или} \quad 0<x-1\le 3,$$

   то есть

   $$-2\le x<1 \quad \text{или} \quad 1<x\le 4.$$

2. б) Рассмотрим неравенство:

   $$\log_2(x^2+x-10)>25-2x-2x^2$$

   Положим $$y=x^2+x-10$$. Тогда

   $$25-2x-2x^2=5-2y,$$

   и неравенство принимает вид

   $$\log_2 y>5-2y,\qquad y>0.$$

   Функция $$\log_2 y$$ возрастает, а функция $$5-2y$$ убывает при $$y>0$$. Они равны при $$y=2$$:

   $$\log_2 2=1,\qquad 5-2\cdot 2=1.$$

   Следовательно,

   $$y>2.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$x^2+x-10>2$$

   $$x^2+x-12>0$$

   $$ (x+4)(x-3)>0.$$

   Произведение положительно при

   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Ответ

а) $$x\in[-2;1)\cup(1;4]$$; б) $$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$.