Упр.57.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) корень(sin С… — 1) < = 4 - x^2; Р±) корень(cos С… - 1) > = С…^2 — 49.

а) $$\sqrt{\sin x-1}\le 4-x^2.$$

Чтобы выражение под корнем было определено, нужно:

$$\sin x-1\ge 0,$$

то есть

$$\sin x=1,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этом левая часть равна

$$\sqrt{\sin x-1}=\sqrt{1-1}=0.$$

Тогда неравенство сводится к

$$0\le 4-x^2,$$

или

$$x^2\le 4,$$

$$-2\le x\le 2.$$

Из значений $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ этому промежутку удовлетворяет только

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

б) $$\sqrt{\cos x-1}\ge x^2-49.$$

Для существования корня нужно:

$$\cos x-1\ge 0,$$

то есть

$$\cos x=1,$$

откуда

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда левая часть равна

$$\sqrt{\cos x-1}=\sqrt{1-1}=0.$$

Получаем неравенство

$$0\ge x^2-49,$$

или

$$x^2\le 49,$$

$$-7\le x\le 7.$$

Из чисел вида $$x=2\pi n$$ этому промежутку удовлетворяют

$$x=0,\quad x=\pm 2\pi.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}.$$

б) $$x\in\{-2\pi,\,0,\,2\pi\}.$$