Упр.57.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (2^х — 3)(3х — 4) < = 0; б) (3 log3 x - 1)(3х - 4) > = 0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство

$$\left(2^x-3\right)(3x-4)\le 0.$$

Произведение не положительно, когда множители разных знаков или один из них равен нулю:

$$ \begin{cases} 2^x-3\ge 0,\\ 3x-4\le 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} 2^x-3\le 0,\\ 3x-4\ge 0 \end{cases} $$

Решаем системы:

$$ \begin{cases} 2^x\ge 3,\\ x\le \frac43 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge \log_2 3,\\ x\le \frac43 \end{cases} \Rightarrow \varnothing, $$

так как $$\log_2 3>\frac43.$$

$$ \begin{cases} 2^x\le 3,\\ x\ge \frac43 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\le \log_2 3,\\ x\ge \frac43 \end{cases} \Rightarrow \frac43\le x\le \log_2 3. $$

б) Рассмотрим неравенство

$$\left(3\log_3 x-1\right)(3x-4)\ge 0.$$

Область определения: $$x>0.$$

Произведение неотрицательно, когда множители одного знака:

$$ \begin{cases} 3\log_3 x-1\ge 0,\\ 3x-4\ge 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} 3\log_3 x-1\le 0,\\ 3x-4\le 0 \end{cases} $$

Решаем:

$$ \begin{cases} \log_3 x\ge \frac13,\\ x\ge \frac43 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge \sqrt[3]{3},\\ x\ge \frac43 \end{cases} \Rightarrow x\ge \sqrt[3]{3}, $$

так как $$\sqrt[3]{3}>\frac43.$$

$$ \begin{cases} \log_3 x\le \frac13,\\ x\le \frac43 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0<x\le \sqrt[3]{3},\\ x\le \frac43 \end{cases} \Rightarrow 0<x\le \frac43. $$