Упр.57.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 4^корень(x) — 9 * 2^корень(х) + 8 < 0; б) 9^корень(x) - 10 * 3^корень(x) + 9 < 0.

а) $$4^{\sqrt{x}}-9\cdot 2^{\sqrt{x}}+8<0$$

Представим $$4^{\sqrt{x}}$$ как $$\left(2^2\right)^{\sqrt{x}}=2^{2\sqrt{x}}$$ и сделаем замену:

$$t=2^{\sqrt{x}}, \quad t>0.$$

Тогда получаем:

$$t^2-9t+8<0$$

Разложим на множители:

$$ (t-1)(t-8)<0 $$

Отсюда:

$$1<t<8$$

Возвращаемся к замене:

$$1<2^{\sqrt{x}}<8$$

Так как $$1=2^0$$, $$8=2^3$$, то

$$0<\sqrt{x}<3$$

Следовательно,

$$0<x<9$$

б) $$9^{\sqrt{x}}-10\cdot 3^{\sqrt{x}}+9<0$$

Представим $$9^{\sqrt{x}}$$ как $$\left(3^2\right)^{\sqrt{x}}=3^{2\sqrt{x}}$$ и сделаем замену:

$$t=3^{\sqrt{x}}, \quad t>0.$$

Тогда:

$$t^2-10t+9<0$$

Разложим на множители:

$$ (t-1)(t-9)<0 $$

Отсюда:

$$1<t<9$$

Возвращаемся к замене:

$$1<3^{\sqrt{x}}<9$$

Так как $$1=3^0$$, $$9=3^2$$, то

$$0<\sqrt{x}<2$$

Следовательно,

$$0<x<4$$

Ответ

а) $$x\in(0;9)$$; б) $$x\in(0;4)$$.