Упр.57.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) х^2 + 1 > = cos x;
б) sin x < = -(x + пи/2)^2 - 1; в) х^2 + 1 < = cos x; г) sin x > = -(x + пи/2)^2 — 1.

1. $$x^2+1\ge \cos x$$

   Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2+1\ge 1$$ при любом $$x$$. Кроме того, $$\cos x\le 1$$ для всех $$x$$.

   Следовательно, неравенство верно при всех действительных значениях $$x$$.

2. $$\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Имеем $$\sin x\ge -1$$, а

   $$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1\le -1.$$

   Чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы правая часть была не меньше левой. Это возможно только при

   $$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1=-1,$$

   то есть

   $$\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2=0,$$

   откуда

   $$x=-\frac{\pi}{2}.$$

3. $$x^2+1\le \cos x$$

   Так как $$x^2+1\ge 1$$ и $$\cos x\le 1$$, то возможно только равенство

   $$x^2+1=1,\qquad \cos x=1.$$

   Из $$x^2=0$$ получаем $$x=0$$. Проверка: $$\cos 0=1$$, значит, решение подходит.

4. $$\sin x\ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Так как $$\sin x\ge -1$$, а

   $$-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1\le -1,$$

   то неравенство выполняется при всех $$x\in\mathbb R$$.

Ответ

а) $$x\in\mathbb R$$; б) $$x=-\frac{\pi}{2}$$; в) $$x=0$$; г) $$x\in\mathbb R$$.