Упр.57.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 3^x > 12 — 1,5x;
б) 2^х > корень(x);
в) 3^x < = 12 - 1,5x;
г) 2^х < = корень(x).
а) $$3^x>12-1{,}5x$$
Рассмотрим функции $$y=3^x$$ и $$g=12-1{,}5x$$. Первая функция возрастает, вторая убывает. Найдём точку их пересечения:
$$ 3^2=9,\qquad 12-1{,}5\cdot 2=9. $$
Значит, графики пересекаются при $$x=2$$. Так как $$3^x$$ возрастает, а $$12-1{,}5x$$ убывает, то неравенство выполняется при $$x>2$$.
б) $$2^x>\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Рассмотрим функции $$y=2^x$$ и $$y=\sqrt{x}$$. При $$x=0$$ имеем:
$$2^0=1,\qquad \sqrt{0}=0.$$
Далее для всех $$x\ge 0$$ график $$y=2^x$$ расположен выше графика $$y=\sqrt{x}$$, значит неравенство верно при всех допустимых $$x$$.
в) $$3^x\le 12-1{,}5x$$
Точка пересечения графиков та же: $$x=2$$. Так как слева функция возрастает, а справа убывает, то неравенство выполняется слева от точки пересечения, включая её:
$$x\le 2.$$
г) $$2^x\le \sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
На этой области график $$y=2^x$$ всегда выше графика $$y=\sqrt{x}$$, поэтому решений нет.
Ответ
а) $$x>2$$; б) $$x\in[0;+\infty)$$; в) $$x\le 2$$; г) $$\varnothing$$.
