Упр.57.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2 sin^2 x — 3 sin x + 1 < = 0; б) cos^2 x - 5 cos x + 4 < = 0.

а) Сделаем замену: $$\sin x=t,$$ где $$-1\le t\le 1.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$2t^2-3t+1\le 0.$$

Разложим на множители:

$$2t^2-3t+1=(2t-1)(t-1).$$

Тогда

$$\left(2t-1\right)\left(t-1\right)\le 0,$$

откуда

$$\frac12\le t\le 1.$$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем

$$\frac12\le \sin x\le 1.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Сделаем замену: $$\cos x=t,$$ где $$-1\le t\le 1.$$ Тогда

$$t^2-5t+4\le 0.$$

Разложим на множители:

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4).$$

Получаем

$$\left(t-1\right)\left(t-4\right)\le 0.$$

С учётом области значений $$t$$ имеем только

$$t=1.$$

Тогда

$$\cos x=1,$$

откуда

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$