Упр.57.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) log2^2 (х — 1) + 3 log2 (x — 1) + 2 > = 0;
б) 9^log0,1 x — 4 * 3^log0,1 x + 0,1^log0,1 3 < 0.

1. а) Введём новую переменную:

   $$t=\log_2(x-1)$$

   Тогда неравенство принимает вид:

   $$t^2+3t+2\ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$ (t+2)(t+1)\ge 0 $$

   Отсюда:

   $$t\le -2 \quad \text{или} \quad t\ge -1$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\log_2(x-1)\le -2 \Rightarrow 0<x-1\le 2^{-2}=\frac14 \Rightarrow 1<x\le \frac54$$

   $$\log_2(x-1)\ge -1 \Rightarrow x-1\ge 2^{-1}=\frac12 \Rightarrow x\ge \frac32$$

   С учётом области определения $$x>1$$ получаем:

   $$x\in \left(1;\frac54\right]\cup \left[\frac32;+\infty\right)$$

2. б) Введём новую переменную:

   $$t=3^{\log_{0,1}x}$$

   Тогда:

   $$9^{\log_{0,1}x}-4\cdot 3^{\log_{0,1}x}+0,1^{\log_{0,1}3}<0$$

   $$3^{2\log_{0,1}x}-4\cdot 3^{\log_{0,1}x}+3<0$$

   Получаем квадратное неравенство:

   $$t^2-4t+3<0$$

   $$ (t-1)(t-3)<0 $$

   Следовательно,

   $$1<t<3$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$1<3^{\log_{0,1}x}<3$$

   Так как основание $$3>1$$, имеем:

   $$0<\log_{0,1}x<1$$

   Так как основание $$0,1<1$$, знак неравенства при переходе к $$x$$ меняется:

   $$0,1<x<1$$

Ответ

а) $$x\in \left(1;\frac54\right]\cup \left[\frac32;+\infty\right)$$;

б) $$x\in (0,1;1)$$.