Упр.57.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log2^2 x — 7 log2 x + 12 < 0; Р±) 3 log1/2^2 С… - 10 log1/3 С… + 3 > = 0.

а) Сделаем замену:

$$\log_2 x=t.$$

Тогда получаем квадратное неравенство:

$$t^2-7t+12<0.$$

Разложим на множители:

$$ (t-3)(t-4)<0.$$

Отсюда:

$$3<t<4.$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$3<\log_2 x<4.$$

Так как основание логарифма больше 1, получаем:

$$2^3<x<2^4,$$

то есть

$$8<x<16.$$

б) Сделаем замену:

$$\log_{\frac13} x=t.$$

Тогда:

$$3t^2-10t+3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$ (3t-1)(t-3)\ge 0.$$

Отсюда:

$$t\le \frac13 \quad \text{или} \quad t\ge 3.$$

Возвращаемся к переменной $x$:

$$\log_{\frac13} x\le \frac13 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13} x\ge 3.$$

Так как основание логарифма $\frac13$ меньше 1, знак неравенства при переходе к $x$ меняется:

$$x\ge \left(\frac13\right)^{\frac13}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$$

или

$$x\le \left(\frac13\right)^3=\frac1{27}.$$

С учётом области определения $x>0$ получаем:

$$x\in \left(0;\frac1{27}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in(8;16).$$

б) $$x\in \left(0;\frac1{27}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$