Упр.57.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin x + 2 log3 x > 20 и sin x > 20 — 2 log3 x;
б) sin x / корень(x^2 + 1) > = 1 и sin x > = корень(x^2 + 1);
в) 13 — 13^(х^2 — 4) > = 10^х и 13 > = 10^х + 13^(х^2 — 4);
г) 10^(4х — 1) * lg (x^2 — 4) < 0 и lg (x^2 - 4) < 0?

1. а) Перенесём слагаемое $$2\log_3 x$$ из левой части в правую:

   $$\sin x + 2\log_3 x > 20 \iff \sin x > 20 — 2\log_3 x.$$

   Неравенства равносильны.

2. б) В первом неравенстве знаменатель положителен при всех $$x$$:

   $$\sqrt{x^2+1} > 0.$$

   Умножим обе части неравенства на $$\sqrt{x^2+1}$$:

   $$\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}} \ge 1 \iff \sin x \ge \sqrt{x^2+1}.$$

   Неравенства равносильны.

3. в) Перенесём слагаемое $$13^{x^2-4}$$ из левой части в правую:

   $$13 — 13^{x^2-4} \ge 10^x \iff 13 \ge 10^x + 13^{x^2-4}.$$

   Неравенства равносильны.

4. г) Множитель $$10^{4x-1}$$ положителен при любых $$x$$:

   $$10^{4x-1} > 0.$$

   Значит, можно разделить обе части первого неравенства на это число, не меняя знак неравенства:

   $$10^{4x-1}\cdot \lg(x^2-4) < 0 \iff \lg(x^2-4) < 0.$$

   Неравенства равносильны.

Ответ

а) да; б) да; в) да; г) да.