Упр.57.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) З^(1 + x) * 2^(1 — x) + 3^x * 2^-х < = 10,5; б) 2^x * 5^(1 - x) + 2^(x + 1) * 5^-х > = 2,8.

1. а) Преобразуем левую часть:

   $$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}\le 10{,}5$$

   $$3\cdot 3^x\cdot \frac{2}{2^x}+3^x\cdot \frac{1}{2^x}\le 10{,}5$$

   $$6\left(\frac{3}{2}\right)^x+\left(\frac{3}{2}\right)^x\le 10{,}5$$

   Введём замену:

   $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x,\quad t>0$$

   Тогда

   $$6t+t\le 10{,}5$$

   $$7t\le 10{,}5$$

   $$t\le 1{,}5$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x\le \frac{3}{2}$$

   Так как основание $$\frac{3}{2}>1$$, получаем

   $$x\le 1$$

2. б) Преобразуем левую часть:

   $$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8$$

   $$2^x\cdot 5\cdot 5^{-x}+2\cdot 2^x\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8$$

   $$5\left(\frac{2}{5}\right)^x+2\left(\frac{2}{5}\right)^x\ge 2{,}8$$

   Введём замену:

   $$t=\left(\frac{2}{5}\right)^x,\quad t>0$$

   Тогда

   $$5t+2t\ge 2{,}8$$

   $$7t\ge 2{,}8$$

   $$t\ge 0{,}4$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\left(\frac{2}{5}\right)^x\ge 0{,}4=\frac{2}{5}$$

   Так как основание $$\frac{2}{5}<1$$, знак неравенства при переходе к показателю меняется:

   $$x\le 1$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;1]$$; б) $$x\in(-\infty;1]$$.