Упр.57.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) (2^(x + 1) + 1)^6 > = (2^С… + 17)^6;
6) (2 * 0,1^x + 3)^10 > = (0,1^x + 103)^10.

а) Используем теорему равносильности для неравенства с одинаковыми положительными степенями:

$$\left(2^{x+1}+1\right)^6 \ge \left(2^x+17\right)^6 \iff 2^{x+1}+1 \ge 2^x+17.$$

Тогда

$$2\cdot 2^x-2^x \ge 17-1,$$

$$2^x \ge 16,$$

$$2^x \ge 2^4,$$

$$x \ge 4.$$

б) Аналогично:

$$\left(2\cdot 0{,}1^x+3\right)^{10} \ge \left(0{,}1^x+103\right)^{10} \iff 2\cdot 0{,}1^x+3 \ge 0{,}1^x+103.$$

Получаем

$$2\cdot 0{,}1^x-0{,}1^x \ge 103-3,$$

$$0{,}1^x \ge 100,$$

$$0{,}1^x \ge 0{,}1^{-2},$$

откуда

$$x \le -2.$$

Ответ

а) $$x \in [4; +\infty).$$
б) $$x \in (-\infty; -2].$$