Упр.56.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log2/3 (7x + 9) — log2/3 (8 — С…) = 1;
Р±) log1,2 (3x — 1) + log1,2 (3x + 1) = log1,2 8.

а) Рассмотрим уравнение:

$$\log_{\frac{2}{3}}(7x+9)-\log_{\frac{2}{3}}(8-x)=1$$

Область допустимых значений:

$$7x+9>0,\quad 8-x>0$$

$$x>-\frac{9}{7},\quad x<8$$

Значит, $$-\frac{9}{7}<x<8.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{8-x}=1$$

Так как $$1=\log_{\frac{2}{3}}\frac{2}{3},$$ получаем:

$$\log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{8-x}=\log_{\frac{2}{3}}\frac{2}{3}$$

Следовательно,

$$\frac{7x+9}{8-x}=\frac{2}{3}$$

$$3(7x+9)=2(8-x)$$

$$21x+27=16-2x$$

$$23x=-11$$

$$x=-\frac{11}{23}$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

б) Рассмотрим уравнение:

$$\log_{1,2}(3x-1)+\log_{1,2}(3x+1)=\log_{1,2}8$$

Область допустимых значений:

$$3x-1>0,\quad 3x+1>0$$

$$x>\frac{1}{3},\quad x>-\frac{1}{3}$$

Значит, $$x>\frac{1}{3}.$$

Сложим логарифмы:

$$\log_{1,2}\bigl((3x-1)(3x+1)\bigr)=\log_{1,2}8$$

Тогда

$$ (3x-1)(3x+1)=8 $$

$$9x^2-1=8$$

$$9x^2=9$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=1.$$

Ответ

а) $$-\frac{11}{23}$$; б) $$1$$.