Упр.56.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (корень(3))^tg x = 3корень(3) / 3^tg x;
б) (корень(2))^(2 cos х) = 1 / (2 * 2^cos x).

а) $$\left(\sqrt{3}\right)^{\tg x}=\frac{3\sqrt{3}}{3^{\tg x}}$$

Представим правую часть через основание $$\sqrt{3}$$:

$$ 3\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2\cdot \sqrt{3}=(\sqrt{3})^3,\qquad 3^{\tg x}=\left((\sqrt{3})^2\right)^{\tg x}=(\sqrt{3})^{2\tg x}. $$

Тогда

$$ (\sqrt{3})^{\tg x}=\frac{(\sqrt{3})^3}{(\sqrt{3})^{2\tg x}}=(\sqrt{3})^{3-2\tg x}. $$

Так как основания равны и больше $$0$$, приравниваем показатели:

$$ \tg x=3-2\tg x, $$
$$ 3\tg x=3, $$
$$ \tg x=1. $$

Отсюда

$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. $$

б) $$\left(\sqrt{2}\right)^{2\cos x}=\frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}$$

Запишем всё через основание $$2$$:

$$ \left(\sqrt{2}\right)^{2\cos x}=\left(2^{1/2}\right)^{2\cos x}=2^{\cos x}, $$
$$ \frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}=\frac{1}{2^{1+\cos x}}=2^{-1-\cos x}. $$

Получаем уравнение

$$ 2^{\cos x}=2^{-1-\cos x}. $$

Приравниваем показатели:

$$ \cos x=-1-\cos x, $$
$$ 2\cos x=-1, $$
$$ \cos x=-\frac12. $$

Следовательно,

$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.