Упр.56.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log3 (x^2 — 10С… + 40) = log3 (4x — 8);
Р±) logкорень(3) ((x — 2) / (2x — 4)) = logкорень(3) ((x + 1) / (x + 2)).

1. а) Рассмотрим уравнение

   $$\log_3(x^2-10x+40)=\log_3(4x-8).$$

   Так как основания логарифмов одинаковые, а функция $$\log_3 x$$ возрастает, то при выполнении ОДЗ получаем:

   $$x^2-10x+40=4x-8.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^2-14x+48=0.$$

   $$D=14^2-4\cdot 48=196-192=4.$$

   $$x_{1,2}=\frac{14\pm 2}{2}.$$

   $$x_1=6,\quad x_2=8.$$

   Проверим ОДЗ: $$4x-8>0 \Rightarrow x>2.$$ Оба корня подходят.

2. б) Рассмотрим уравнение

   $$\log_{\sqrt3}\frac{x-2}{2x-4}=\log_{\sqrt3}\frac{x+1}{x+2}.$$

   Так как основания логарифмов одинаковые, то при выполнении ОДЗ:

   $$\frac{x-2}{2x-4}=\frac{x+1}{x+2}.$$

   Упростим левую дробь:

   $$\frac{x-2}{2x-4}=\frac{x-2}{2(x-2)}=\frac12,\quad x\ne 2.$$

   Тогда

   $$\frac12=\frac{x+1}{x+2}.$$

   Решаем:

   $$x+2=2(x+1),$$

   $$x+2=2x+2,$$

   $$x=0.$$

   Проверка ОДЗ: при $$x=0$$ все логарифмы определены, значит корень подходит.

Ответ

а) $$6,\ 8$$; б) $$0$$.