Упр.56.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^(5x — 1) (sin x — корень(3)/2) log0,5 (x + 4) = 0;
б) (sin 2x + cos 2x)(x — 8корень(2x — 15)) = 0.

а)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ 2^{5x-1}\left(\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\right)\log_{0,5}(x+4)=0 $$

1) $$2^{5x-1}\neq 0$$ при любых $$x$$.

2) $$\sin x-\frac{\sqrt3}{2}=0$$, откуда

$$ \sin x=\frac{\sqrt3}{2} $$

$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

3) $$\log_{0,5}(x+4)=0$$, значит

$$ x+4=1,\quad x=-3 $$

Проверим область определения логарифма:

$$ x+4>0 \Rightarrow x>-4 $$

Число $$-3$$ подходит.

б)

$$ (\sin 2x+\cos 2x)(x-8\sqrt{2x-15})=0 $$

1) $$\sin 2x+\cos 2x=0$$. Делим на $$\cos 2x$$:

$$ \tan 2x+1=0 $$

$$ \tan 2x=-1 $$

$$ 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

$$ x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

2) $$x-8\sqrt{2x-15}=0$$, то есть

$$ x=8\sqrt{2x-15} $$

Возведём в квадрат:

$$ x^2=64(2x-15) $$

$$ x^2-128x+960=0 $$

$$ (x-8)(x-120)=0 $$

$$ x=8 \quad \text{или} \quad x=120 $$

С учётом области определения $$2x-15\ge 0$$ получаем $$x\ge 7{,}5$$, оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=-3,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z;\; 8;\; 120$$.