Упр.56.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) sin x cos x — 6 sin x + 6 cos x + 6 = 0;
6) 5 sin 2x — 11 sin x = 11 cos x — 7.

Подробный ответ

$$\sin x \cos x — 6\sin x + 6\cos x + 6 = 0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$\sin x \cos x + 6(\cos x — \sin x) + 6 = 0$$
Положим $$t=\cos x-\sin x$$. Тогда
$$t^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=1-2\sin x\cos x,$$
откуда
$$\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}.$$
Подставим:
$$\frac{1-t^2}{2}+6t+6=0,$$
$$1-t^2+12t+12=0,$$
$$t^2-12t-13=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=144+52=196,$$
$$t_{1,2}=\frac{12\pm 14}{2},$$
$$t_1=-1,\quad t_2=13.$$
Так как $$t=\cos x-\sin x$$ и $$-\sqrt2\le t\le \sqrt2,$$ значение $$t=13$$ не подходит.
Остаётся:
$$\cos x-\sin x=-1.$$
Преобразуем:
$$\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$
значит
$$\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Тогда
$$x+\frac{\pi}{4}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
$$x=-\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
$$5\sin 2x-11\sin x=11\cos x-7$$
Перенесём всё в одну сторону и используем $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$10\sin x\cos x-11\sin x-11\cos x+7=0,$$
$$10\sin x\cos x-11(\sin x+\cos x)+7=0.$$
Положим $$t=\sin x+\cos x$$. Тогда
$$t^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$
откуда
$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$$
Подставим:
$$10\cdot \frac{t^2-1}{2}-11t+7=0,$$
$$5t^2-11t+2=0.$$
Решаем:
$$D=121-40=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{11\pm 9}{10},$$
$$t_1=\frac15,\quad t_2=2.$$
Так как $$\sin x+\cos x\le \sqrt2,$$ значение $$t=2$$ не подходит.
Остаётся:
$$\sin x+\cos x=\frac15.$$
Преобразуем сумму:
$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$
значит
$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac15,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{10}.$$
Тогда
$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n.$$