Упр.56.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 3 tg^2 x — 8 = 4 cos^2 x;
6) 4 sin^2 x = 4 — 9 tg^2 x.

а) $$3\tg^2 x-8=4\cos^2 x$$

Используем формулу $$\tg^2 x=\dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}$$:

$$ 3\cdot \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}-8=4\cos^2 x $$
$$ 3-3\cos^2 x-8\cos^2 x=4\cos^4 x $$
$$ 4\cos^4 x+11\cos^2 x-3=0 $$

Сделаем замену $$y=\cos^2 x$$, тогда получаем:

$$ 4y^2+11y-3=0 $$
$$ D=11^2-4\cdot 4\cdot(-3)=121+48=169 $$
$$ y=\frac{-11\pm 13}{8} $$
$$ y_1=\frac14,\quad y_2=-3 $$

Так как $$\cos^2 x\ge 0$$, значение $$y_2=-3$$ не подходит. Значит,

$$ \cos^2 x=\frac14 $$
$$ \cos x=\pm \frac12 $$

Тогда

$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$

б) $$4\sin^2 x=4-9\tg^2 x$$

Выразим $$\tg^2 x$$ через $$\cos x$$:

$$ 4\sin^2 x=4-9\cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} $$
$$ 4\sin^2 x\cos^2 x=4\cos^2 x-9\sin^2 x $$
$$ 4(1-\cos^2 x)\cos^2 x=4\cos^2 x-9(1-\cos^2 x) $$
$$ 4\cos^4 x+9\cos^2 x-9=0 $$

Сделаем замену $$y=\cos^2 x$$:

$$ 4y^2+9y-9=0 $$
$$ D=9^2-4\cdot 4\cdot(-9)=81+144=225 $$
$$ y=\frac{-9\pm 15}{8} $$
$$ y_1=\frac34,\quad y_2=-3 $$

Подходит только $$y_1=\frac34$$, значит

$$ \cos^2 x=\frac34 $$
$$ \cos x=\pm \frac{\sqrt3}{2} $$

Следовательно,

$$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$;
б) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$.