Упр.56.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) cos 6x — cos 2x + cos 8x — cos 4x = 0;
6) sin 3x — sin x + cos 3x — cos x = 0.

Подробный ответ

а)

$$\cos 6x-\cos 2x+\cos 8x-\cos 4x=0$$
$$\left(\cos 6x-\cos 2x\right)+\left(\cos 8x-\cos 4x\right)=0$$
$$-2\sin 4x\sin 2x-2\sin 6x\sin 2x=0$$
$$-2\sin 2x\left(\sin 4x+\sin 6x\right)=0$$
$$-2\sin 2x\cdot 2\sin 5x\cos x=0$$
$$\sin 2x\sin 5x\cos x=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$
$$5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Но множество $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ уже входит в решение $$x=\frac{\pi n}{2}$$, поэтому достаточно записать:

$$x=\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi n}{5}, \quad n\in \mathbb{Z}$$

б)

$$\sin 3x-\sin x+\cos 3x-\cos x=0$$
$$\left(\sin 3x-\sin x\right)+\left(\cos 3x-\cos x\right)=0$$
$$2\cos 2x\sin x-2\sin 2x\sin x=0$$
$$2\sin x\left(\cos 2x-\sin 2x\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x-\sin 2x=0$$

$$x=\pi n$$

$$\cos 2x=\sin 2x$$
$$\tg 2x=1$$
$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

Следовательно,

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in \mathbb{Z}$$