Упр.56.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos 5x + cos 7x — cos 6x = 0;
6) sin 9x — sin 5x + sin 4x = 0.

а)

$$\cos 5x+\cos 7x-\cos 6x=0$$
$$\cos 5x+\cos 7x=2\cos 6x\cos x$$
$$2\cos 6x\cos x-\cos 6x=0$$
$$\cos 6x(2\cos x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 6x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0$$

$$\cos 6x=0 \Rightarrow 6x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}$$

$$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$

б)

$$\sin 9x-\sin 5x+\sin 4x=0$$
$$\sin 9x-\sin 5x=2\cos 7x\sin 2x$$

Тогда

$$2\cos 7x\sin 2x+\sin 4x=0$$
$$2\cos 7x\sin 2x+2\sin 2x\cos 2x=0$$
$$2\sin 2x(\cos 7x+\cos 2x)=0$$
$$2\sin 2x \cdot 2\cos \frac{9x}{2}\cos \frac{5x}{2}=0$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{9x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{5x}{2}=0$$

$$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

$$\cos \frac{9x}{2}=0 \Rightarrow \frac{9x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9}$$

$$\cos \frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\ \ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \ x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9},\ \ x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\ n\in \mathbb{Z}$$