Упр.56.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(x + 1) + корень(x — 1) = корень(2);
б) корень(2х + 1) — корень(x — 1) = корень(3).

а)

Область допустимых значений:

$$ x+1 \ge 0,\quad x-1 \ge 0 $$
$$ x \ge 1 $$

Преобразуем уравнение:

$$ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2} $$
$$ \sqrt{x+1}=\sqrt{2}-\sqrt{x-1} $$

Возведём обе части в квадрат:

$$ x+1=2-2\sqrt{2(x-1)}+x-1 $$
$$ 2\sqrt{2(x-1)}=2-2x $$
$$ \sqrt{x^2-1}=1-x $$

Так как левая часть неотрицательна, то $$1-x \ge 0$$, значит $$x \le 1$$. С учётом ОДЗ получаем $$x=1$$.

Проверка:

$$ \sqrt{1+1}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2} $$

Верно.

б)

Область допустимых значений:

$$ 2x+1 \ge 0,\quad x-1 \ge 0 $$
$$ x \ge -\frac12,\quad x \ge 1 $$
$$ x \ge 1 $$

Преобразуем уравнение:

$$ \sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{3} $$
$$ \sqrt{2x+1}=\sqrt{3}+\sqrt{x-1} $$

Возведём обе части в квадрат:

$$ 2x+1=3+2\sqrt{3(x-1)}+x-1 $$
$$ x-1=2\sqrt{3(x-1)} $$

Снова возведём в квадрат:

$$ (x-1)^2=12(x-1) $$
$$ (x-1)^2-12(x-1)=0 $$
$$ (x-1)(x-13)=0 $$

Отсюда:

$$ x=1 \quad \text{или} \quad x=13 $$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ и исходному уравнению.

Ответ

а) $$1$$;
б) $$1,\,13$$.