Упр.56.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 0,5^(sin x — cosx) = 1;
б) (корень(3))^(sin^2 х — 1) * 3корень(3) = (4)корень(729).

а) $$0{,}5^{\sin x-\cos x}=1$$

Представим единицу как степень с тем же основанием:

$$0{,}5^{\sin x-\cos x}=0{,}5^0$$

Тогда показатели равны:

$$\sin x-\cos x=0$$

$$\sin x=\cos x$$

Разделим на $$\cos x$$:

$$\tg x=1$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

б) $$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt[4]{729}$$

Преобразуем правую часть:

$$\sqrt[4]{729}=\sqrt[4]{3^6}=3\sqrt{3}$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$

Делим обе части на $$3\sqrt{3}$$:

$$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}=1$$

Запишем единицу как степень с тем же основанием:

$$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}=\left(\sqrt{3}\right)^0$$

Следовательно,

$$\sin^2 x-1=0$$

$$\sin^2 x=1$$

$$\sin x=\pm 1$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$