Упр.56.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (x — 1)^4 + 36 = 13(x^2 — 2x + 1);
б) (2х + З)^4 — 9 = 8(4x^2 + 12x + 9).

а) Преобразуем уравнение:

$$ (x-1)^4+36=13(x^2-2x+1)=13(x-1)^2 $$

Сделаем замену:

$$ t=(x-1)^2,\quad t\ge 0 $$

Тогда получаем:

$$ t^2-13t+36=0 $$

$$ (t-4)(t-9)=0 $$

Отсюда:

$$ t=4 \quad \text{или} \quad t=9 $$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ (x-1)^2=4 \Rightarrow x-1=\pm 2 \Rightarrow x=-1,\ 3 $$

$$ (x-1)^2=9 \Rightarrow x-1=\pm 3 \Rightarrow x=-2,\ 4 $$

б) Преобразуем уравнение:

$$ (2x+3)^4-9=8(4x^2+12x+9)=8(2x+3)^2 $$

Тогда:

$$ (2x+3)^4-8(2x+3)^2-9=0 $$

Сделаем замену:

$$ t=(2x+3)^2,\quad t\ge 0 $$

Получаем:

$$ t^2-8t-9=0 $$

$$ (t-9)(t+1)=0 $$

Так как $$t\ge 0$$, значение $$t=-1$$ не подходит. Значит,

$$ t=9 $$

Тогда:

$$ (2x+3)^2=9 $$

$$ 2x+3=\pm 3 $$

Отсюда:

$$ 2x=0 \Rightarrow x=0 $$

$$ 2x=-6 \Rightarrow x=-3 $$

Ответ

а) $$-2,\ -1,\ 3,\ 4$$; б) $$-3,\ 0$$.