Упр.56.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^x + 2^(1 — x) = 3;
б) 25^-x — 50 = 5^(-x + 1);
в) 5^х + 4 = 5^(2x + 1);
г) 3^(x + 1) — 29 = -18 * 3^-x.

1. а) Введём новую переменную $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда

   $$2^x+2^{1-x}=3$$

   $$2^x+\frac{2}{2^x}-3=0$$

   $$t+\frac{2}{t}-3=0$$

   $$t^2-3t+2=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

   $$t_1=1,\quad t_2=2.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$

2. б) Введём новую переменную $$t=5^{-x},\quad t>0.$$ Тогда

   $$25^{-x}-50=5^{-x+1}$$

   $$5^{-2x}-50=5\cdot 5^{-x}$$

   $$t^2-5t-50=0$$

   $$\left(t+5\right)\left(t-10\right)=0$$

   $$t_1=-5,\quad t_2=10.$$

   Так как $$t>0,$$ значение $$t_1=-5$$ не подходит. Тогда

   $$5^{-x}=10$$

   $$-x=\log_5 10$$

   $$x=-\log_5 10.$$

3. в) Введём новую переменную $$t=5^x,\quad t>0.$$ Тогда

   $$5^x+4=5^{2x+1}$$

   $$t+4=5t^2$$

   $$5t^2-t-4=0$$

   $$\left(5t+4\right)\left(t-1\right)=0$$

   $$t_1=-\frac{4}{5},\quad t_2=1.$$

   Так как $$t>0,$$ значение $$t_1=-\frac{4}{5}$$ не подходит. Тогда

   $$5^x=1$$

   $$5^x=5^0$$

   $$x=0.$$

4. г) Введём новую переменную $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

   $$3^{x+1}-29=-18\cdot 3^{-x}$$

   $$3\cdot 3^x-29+\frac{18}{3^x}=0$$

   $$3t-29+\frac{18}{t}=0$$

   $$3t^2-29t+18=0$$

   $$\left(3t-2\right)\left(t-9\right)=0$$

   $$t_1=\frac{2}{3},\quad t_2=9.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$3^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\log_3\frac{2}{3}=\log_3 2-1,$$

   $$3^x=9=3^2\Rightarrow x=2.$$

Ответ

а) $$0;1$$

б) $$-\log_5 10$$

в) $$0$$

г) $$\log_3 2-1;\ 2$$