Упр.56.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(x^2 + 1 — 2х) — 6корень(x — 1) = 7;
б) корень(x^2 — 4х + 4) — 6 = 5корень(2 — х).

1. а) Обозначим $$t=\sqrt{x-1}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2+1$$.

   Уравнение принимает вид:

   $$\sqrt{x^2+1-2x}-6\sqrt{x-1}=7$$

   $$\sqrt{(x-1)^2}-6\sqrt{x-1}=7$$

   Так как $$x\ge 1$$, то $$\sqrt{(x-1)^2}=x-1$$. Получаем:

   $$x-1-6\sqrt{x-1}=7$$

   $$\sqrt{x-1}=t \Rightarrow t^2-6t-7=0$$

   $$t^2-6t-7=(t-7)(t+1)=0$$

   $$t=7 \text{ или } t=-1$$

   Так как $$t\ge 0$$, значение $$t=-1$$ не подходит. Тогда

   $$\sqrt{x-1}=7$$

   $$x-1=49$$

   $$x=50$$

2. б) Обозначим $$t=\sqrt{2-x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=2-t^2$$.

   Уравнение:

   $$\sqrt{x^2-4x+4}-6=5\sqrt{2-x}$$

   $$\sqrt{(2-x)^2}-6=5\sqrt{2-x}$$

   Так как $$x\le 2$$, то $$\sqrt{(2-x)^2}=2-x$$. Получаем:

   $$2-x-6=5\sqrt{2-x}$$

   $$\sqrt{2-x}=t \Rightarrow t^2-5t-6=0$$

   $$t^2-5t-6=(t-6)(t+1)=0$$

   $$t=6 \text{ или } t=-1$$

   Так как $$t\ge 0$$, значение $$t=-1$$ не подходит. Тогда

   $$\sqrt{2-x}=6$$

   $$2-x=36$$

   $$x=-34$$

Ответ

а) $$50$$; б) $$-34$$.