Упр.56.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 3^(2 — х) = З^(х^2 — 4х);
б) (Зх^2 — 2)^4 = (х — З)^4;
в) (3)корень(7 — х) = (3)корень(5х + 1);
г) lg 1/x = lg (2х — 7)?
а) $$3^{2-x}=3^{x^2-4x}$$
Функция $$y=3^x$$ строго возрастает, поэтому равенство показателей равносильно исходному уравнению:
$$2-x=x^2-4x$$
Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
б) $$(3x^2-2)^4=(x-3)^4$$
Функция $$y=x^4$$ не является взаимно однозначной, поэтому из равенства четвёртых степеней нельзя перейти к равенству оснований без потери корней.
Следовательно, уравнения неравносильны.
Ответ: нет.
в) $$\sqrt[3]{7-x}=\sqrt[3]{5x+1}$$
Функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому можно возвести обе части в куб:
$$\left(\sqrt[3]{7-x}\right)^3=\left(\sqrt[3]{5x+1}\right)^3$$
$$7-x=5x+1$$
Переход равносилен, значит уравнения равносильны.
Ответ: да.
г) $$\lg\frac{1}{x}=\lg(2x-7)$$
Для логарифмов нужны условия:
$$\frac{1}{x}>0,\qquad 2x-7>0$$
То есть область определения исходного уравнения задаётся не только равенством аргументов, но и дополнительными ограничениями. Поэтому переход к уравнению
$$\frac{1}{x}=2x-7$$
не является равносильным без учёта ОДЗ.
Следовательно, уравнения неравносильны.
Ответ: нет.
