Упр.55.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) sin 2х * корень(4 — х^2) = 0;
б) (cos 2х — 1) * корень(9 — х^2) = 0;
в) (cos^2 х — sin^2 x) * корень(1 — x^2) = 0;
г) tg x * корень(16 — x^2) = 0.
а) $$\sin 2x\cdot \sqrt{4-x^2}=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, при условии существования корня:
$$4-x^2\ge 0,\quad -2\le x\le 2.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$
С учётом $$-2\le x\le 2$$ получаем:
$$x=-2,\,-\frac{\pi}{2},\,0,\,\frac{\pi}{2},\,2.$$
б) $$\left(\cos 2x-1\right)\sqrt{9-x^2}=0$$
Область определения:
$$9-x^2\ge 0,\quad -3\le x\le 3.$$
1) $$\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=1 \Rightarrow 2x=2\pi n \Rightarrow x=\pi n.$$
2) $$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$
С учётом $$-3\le x\le 3$$ получаем:
$$x=-3,\,0,\,3.$$
в) $$\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)\sqrt{1-x^2}=0$$
Область определения:
$$1-x^2\ge 0,\quad -1\le x\le 1.$$
1) $$\cos^2 x-\sin^2 x=0 \Rightarrow \cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
С учётом $$-1\le x\le 1$$ получаем:
$$x=-1,\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4},\,1.$$
г) $$\tg x\cdot \sqrt{16-x^2}=0$$
Область определения:
$$16-x^2\ge 0,\quad -4\le x\le 4.$$
1) $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$
2) $$16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 4.$$
С учётом $$-4\le x\le 4$$ получаем:
$$x=-4,\,-\pi,\,0,\,\pi,\,4.$$
Ответ
а) $$-2,\,-\frac{\pi}{2},\,0,\,\frac{\pi}{2},\,2$$;
б) $$-3,\,0,\,3$$;
в) $$-1,\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4},\,1$$;
г) $$-4,\,-\pi,\,0,\,\pi,\,4$$.
