Упр.55.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(x^4 — 3x — 1) = x^2 — 1;
б) корень(х^4 — Зх — 1) = 1 — х^2;
в) корень(x^4 + х — 9) = 1 — х^2;
г) корень(х^4 + х — 9) = х^2 — 1.

1. $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$

   ОДЗ:

   $$x^4-3x-1\ge 0,\qquad x^2-1\ge 0.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^4-3x-1=(x^2-1)^2,$$
   $$x^4-3x-1=x^4-2x^2+1,$$
   $$2x^2-3x-2=0,$$
   $$(2x+1)(x-2)=0.$$

   Получаем:

   $$x=-\frac12 \quad \text{или} \quad x=2.$$

   Проверка показывает, что подходит только $$x=2$$.

2. $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2$$

   ОДЗ:

   $$x^4-3x-1\ge 0,\qquad 1-x^2\ge 0.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^4-3x-1=(1-x^2)^2,$$
   $$x^4-3x-1=1-2x^2+x^4,$$
   $$2x^2-3x-2=0,$$
   $$(2x+1)(x-2)=0.$$

   Из найденных корней условию ОДЗ удовлетворяет только

   $$x=-\frac12.$$

3. $$\sqrt{x^4+x-9}=1-x^2$$

   ОДЗ:

   $$x^4+x-9\ge 0,\qquad 1-x^2\ge 0.$$

   Но при $$|x|\le 1$$ имеем

   $$x^4+x-9\le 1+1-9=-7<0,$$

   значит, решений нет.

4. $$\sqrt{x^4+x-9}=x^2-1$$

   ОДЗ:

   $$x^4+x-9\ge 0,\qquad x^2-1\ge 0.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^4+x-9=(x^2-1)^2,$$
   $$x^4+x-9=x^4-2x^2+1,$$
   $$2x^2+x-10=0,$$
   $$(2x+5)(x-2)=0.$$

   Получаем:

   $$x=-\frac52 \quad \text{или} \quad x=2.$$

   Оба корня подходят при проверке.

Ответ

а) $$2$$; б) $$-\frac12$$; в) решений нет; г) $$-\frac52,\ 2$$.