Упр.54.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите вероятность того, что оно:
а) является решением неравенства корень(х) < = 1; б) принадлежит области определения функции у = ln (40x - 39 - х^2); в) является решением неравенства корень(х - 10) < = 5; г) принадлежит области значений функции у = 0,5 sin (2x + 3пи/2) + 1.

Найдём множество решений неравенства $$\sqrt{x}\le 10.$$

$$ \sqrt{x}\le 10 \\ x\ge 0,\quad x\le 100 \\ 0\le x\le 100 $$

Все решения равновероятны, значит вероятность равна отношению длины нужного промежутка к длине всего промежутка $$[0;100]$$.

1. $$\sqrt{x}\le 1$$

   $$ x\ge 0,\quad x\le 1 \\ 0\le x\le 1 $$

   $$ P=\frac{1-0}{100-0}=\frac{1}{100}=0{,}01 $$

2. Область определения функции $$y=\ln(40x-39-x^2)$$ задаётся неравенством

   $$ 40x-39-x^2>0 \\ x^2-40x+39<0 \\ (x-1)(x-39)<0 \\ 1<x<39 $$

   $$ P=\frac{39-1}{100-0}=\frac{38}{100}=0{,}38 $$

3. $$\sqrt{x-10}\le 5$$

   $$ x-10\ge 0,\quad x-10\le 25 \\ 10\le x\le 35 $$

   $$ P=\frac{35-10}{100-0}=\frac{25}{100}=0{,}25 $$

4. Область значений функции $$y=0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1$$:

   $$ -1\le \sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)\le 1 \\ -0{,}5\le 0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)\le 0{,}5 \\ 0{,}5\le 0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1\le 1{,}5 $$

   $$ P=\frac{1{,}5-0{,}5}{100-0}=\frac{1}{100}=0{,}01 $$

Ответ

а) $$0{,}01$$; б) $$0{,}38$$; в) $$0{,}25$$; г) $$0{,}01$$.