Упр.54.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите вероятность того, что она расположена:
а) ближе к прямой АВ, чем к прямой CD;
б) ближе к вершине А, чем к вершине С;
в) ближе к прямой АВ, чем к прямой ВС;
г) ближе к вершине А, чем к точке пересечения диагоналей.

1. Площадь прямоугольника:

   $$S_{ABCD}=AB\cdot BC=2\cdot 5=10.$$

2. а) Точки, расположенные ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$CD$$, лежат в половине прямоугольника, ограниченной серединной прямой, параллельной этим сторонам. Эта полоса имеет ширину $$\frac{BC}{2}$$, значит

   $$P=\frac{1}{2}.$$

3. б) Точки, расположенные ближе к вершине $$A$$, чем к вершине $$C$$, лежат по одну сторону серединного перпендикуляра к отрезку $$AC$$. В прямоугольнике эта область делит его на две равные части, поэтому

   $$P=\frac{1}{2}.$$

4. в) Точки, расположенные ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$, образуют прямоугольный треугольник с катетами $$AB$$ и $$\frac{BC}{2}$$. Его площадь равна

   $$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot \frac{BC}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{2}.$$

   Тогда

   $$P=\frac{S}{S_{ABCD}}=\frac{5/2}{10}=\frac{1}{4}.$$

5. г) Точки, расположенные ближе к вершине $$A$$, чем к точке пересечения диагоналей, образуют трапецию, площадь которой составляет $$\frac{21}{100}$$ площади прямоугольника, то есть

   $$P=0{,}21.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{2}$$; б) $$\frac{1}{2}$$; в) $$\frac{1}{4}$$; г) $$0{,}21$$.