Упр.54.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:
а) |х| < = 2; б) |х - 6| < = 2; в) |х| < = 1; г) 1 < = |х - 6| < = 2.

Найдём множество решений неравенства $$1 \le |x-3| \le 5.$$

Из условия $$|x-3| \le 5$$ получаем:

$$-5 \le x-3 \le 5,$$

$$-2 \le x \le 8.$$

Из условия $$|x-3| \ge 1$$ получаем:

$$x-3 \le -1 \quad \text{или} \quad x-3 \ge 1,$$

$$x \le 2 \quad \text{или} \quad x \ge 4.$$

Значит, решения исходного неравенства:

$$x \in [-2;2] \cup [4;8].$$

Длина этого множества равна:

$$L=(2-(-2))+(8-4)=8.$$

а) $$|x| \le 2$$, то есть $$x \in [-2;2].$$

Длина подходящего множества:

$$l=2-(-2)=4.$$

Тогда

$$P=\frac{l}{L}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

б) $$|x-6| \le 2,$$ то есть

$$4 \le x \le 8.$$

Пересечение с множеством решений исходного неравенства:

$$[ -2;2 ] \cup [4;8] \;\cap\; [4;8]=[4;8].$$

Длина подходящего множества:

$$l=8-4=4.$$

Тогда

$$P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

в) $$|x| \le 1,$$ то есть $$x \in [-1;1].$$

Это множество целиком лежит в $$[-2;2],$$ значит

$$l=1-(-1)=2.$$

Тогда

$$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$

г) $$1 \le |x-6| \le 2.$$

Решим неравенство:

$$1 \le |x-6| \le 2$$

$$\Rightarrow \begin{cases} 1 \le x-6 \le 2, \\ -2 \le x-6 \le -1 \end{cases}$$

$$\Rightarrow x \in [7;8] \cup [4;5].$$

Это множество целиком лежит в $$[-2;2] \cup [4;8],$$ поэтому

$$l=(5-4)+(8-7)=2.$$

Тогда

$$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{2}$$; б) $$\frac{1}{2}$$; в) $$\frac{1}{4}$$; г) $$\frac{1}{4}$$.