Упр.54.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Пользуясь теоремой Бернулли, составьте формулы для следующих событий:
а) при трёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «успеха»;
б) при четырёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «неудачи»;
в) при пяти независимых повторениях испытания будет ровно 3 «успеха».
Вычислите вероятности в а) — в).

Обозначим вероятность успеха через $$p=0{,}7,$$ тогда вероятность неудачи

$$q=1-p=1-0{,}7=0{,}3.$$

По формуле Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

1. При трёх независимых испытаниях ровно 2 успеха:

   $$P_3(2)=C_3^2 \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^{\,1}.$$

   $$C_3^2=3,$$

   $$P_3(2)=3\cdot 0{,}49\cdot 0{,}3=0{,}441.$$

2. При четырёх независимых испытаниях ровно 2 неудачи, значит 2 успеха:

   $$P_4(2)=C_4^2 \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^2.$$

   $$C_4^2=6,$$

   $$P_4(2)=6\cdot 0{,}49\cdot 0{,}09=0{,}2646.$$

3. При пяти независимых испытаниях ровно 3 успеха:

   $$P_5(3)=C_5^3 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^2.$$

   $$C_5^3=10,$$

   $$P_5(3)=10\cdot 0{,}343\cdot 0{,}09=0{,}3087.$$

Ответ

а) $$0{,}441$$; б) $$0{,}2646$$; в) $$0{,}3087$$.