Упр.53.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

и любого положительного числа х справедливо неравенство (1 + x)^n > 1 + nх.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$$ (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k=1+nx+C_n^2x^2+\dots+C_n^{n-1}x^{n-1}+x^n. $$

Так как $$n>1$$ и $$x>0,$$ то все слагаемые, начиная с $$C_n^2x^2,$$ положительны. Поэтому

$$ (1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+\dots+C_n^{n-1}x^{n-1}+x^n>1+nx. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$ (1+x)^n>1+nx $$
для любого натурального $$n>1$$ и любого положительного $$x$$.