Упр.52.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) Сколько существует различных составов хора?
б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе?
в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В?
г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и одной певице придётся петь мужскую партию.
Обозначим число способов выбора певцов и певиц через сочетания.
Для мужских партий нужно выбрать $$5$$ певцов из $$10$$, а для женских — $$3$$ певиц из $$8$$.
а) Число различных составов хора:
$$ C_{10}^{5}\cdot C_{8}^{3} = \frac{10!}{5!\,5!}\cdot \frac{8!}{3!\,5!} = 252\cdot 56 = 14112 $$
б) Если певцы $$A$$ и $$B$$ не будут петь вместе, вычтем составы, где они оба выбраны.
Тогда остаётся выбрать ещё $$3$$ певцов из $$8$$ и $$3$$ певиц из $$8$$:
$$ C_{10}^{5}\cdot C_{8}^{3} — C_{8}^{3}\cdot C_{8}^{3} = 14112 — 56\cdot 56 = 10976 $$
в) Если певец $$A$$ будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица $$B$$, возможны два случая:
- $$A$$ и $$B$$ оба выбраны;
- $$A$$ и $$B$$ оба не выбраны.
1) Если $$A$$ и $$B$$ выбраны, то остаётся выбрать ещё $$4$$ певцов из $$9$$ и $$2$$ певиц из $$7$$:
$$ C_{9}^{4}\cdot C_{7}^{2} = 126\cdot 21 = 2646 $$
2) Если $$A$$ и $$B$$ не выбраны, то нужно выбрать $$5$$ певцов из $$9$$ и $$3$$ певиц из $$7$$:
$$ C_{9}^{5}\cdot C_{7}^{3} = 126\cdot 35 = 4410 $$
Итого:
$$ 2646 + 4410 = 7056 $$
г) Если $$6$$ певцов не могут петь, то все оставшиеся $$4$$ певца будут петь. На мужскую партию нужно выбрать одну певицу из $$8$$, а на женские партии — ещё $$3$$ певиц из оставшихся $$7$$:
$$ C_{8}^{1}\cdot C_{7}^{3} = 8\cdot 35 = 280 $$
Ответ
а) $$14112$$; б) $$10976$$; в) $$7056$$; г) $$280$$.
